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(9074) 電力輸送の問題
Du’
2005年02月09日(水) 23時46分

こんばんは。高3のDu’です。
物理の問題を解いていて、疑問に思ったことがあるので、質問させてください。
以下にそれらを示します。

図1
→I
┏━━━━━抵抗r━━━━━┓
交             抵
流             抗
E             R
┗━━━━━━━━━━━━━┛
Eは交流電源の実効値、Iは流れる電流の実効値とします。
図2
→I
┏━━┓┏━抵抗r━┓┏━━┓
交  ココ     ココ  抵
流  イイ     イイ  抗
E  ルル     ルル  R
┃  12     34  ┃
┗━━┛┗━━━━━┛┗━━┛
コイル1ー2、3ー4は変圧器になっています。それぞれ同一の鉄芯に巻かれています。コイル1、4はN1回巻、コイル2、3はN2回巻です。今、N1:N2=1:70とします。Eは交流電源の実効値、Iは左端の回路を流れる電流の実効値とします。

問題は、
図2の抵抗rでの電力消費は、変圧器を用いない図1での電力消費の何倍であるかを求めよ。
というものです

以下解答を示します。

コイル2の電圧をE2、コイル2に流れる電流をI2とする。
電圧の比は巻数の比になるから
70E=E2
エネルギー保存則より
IE=I2E2
上記2式より
I2=I/70
図2の抵抗rでの電力消費P2は
P2=(1/4900)rI^2
図1の抵抗rでの電力消費P1は
P1=rI^2
ゆえに
P2/P1=1/4900

ここまでが解答です。
しかし、図1と図2で流れる電流Iは、解答では始めから与えられていますから同じとして計算していますが、私は同じではないと思いました。
そこで、抵抗と電圧を図1、2で共通にして、それらの値から図1、2に流れる電流の値を求めてみました。

図1の電流です。
E=Ir+iR  より  I=E/(r+R)

図2の電流です。
コイル2、3、4の電圧をE2、E3、E4、左、中央、右の回路に流れる電流をI、I2、I3とします。
変圧器において電圧の比は巻数の比になるから
70E=E2  E3=70E4
エネルギー保存則より
EI=E2I2  E3I2=E4I3
キルヒホッフの法則より
E2-E3=I2r  E4=IR
上記6式より
I=E/(R+r/4900)

となり、一致しません。


どなたかこの問題を解釈していただけないでしょうか。
よろしくお願い致します。



(9079)  (Re:9074)
Re:電力輸送の問題
典B
2005年02月10日(木) 07時44分

 #9074 Du’さん、こんにちは(^_^)。

 Du’さんの計算結果 I=E/(R+r/4900) は正しいです。そもそも、図1のIと、図2のIは等しくないのです。ですから、図1の電流と図2の電流には違う文字を使ったほうがいいでしょう。たとえば、図1のIをI0、図2のIをI1とするのです。
 そうすると、I0はDu’さんの計算どおり I0=E/(r+R) です。そして、rで消費される電力はこれもDu’さんの計算どおり P1=rI0^2 です。
 図2のI1もこれまたDu’さんの計算どおり I1=E/(R+r/4900) です。ここから先でDu’さんはちょっとしたミスをおかしておられるようです。

| 図2の抵抗rでの電力消費P2は
| P2=(1/4900)rI^2

というところです。Du’さんはここでrに流れる電流を、コイル1に流れる電流とされていますが、正しくはコイル2に流れる電流(I2)ですね。

 ここまでわかれば、あとは多少ややこしい式の計算だけで答えが出るはずです。

 なお、つぎのところもちょっとしたミスかなと思います。

| キルヒホッフの法則より
| E2-E3=I2r  E4=IR

 この E4=IR は、まず E4=I3R ですね。結果的に I3はI1に等しいのですが、Du’さんの計算の中では I3=I1 というのは導かれていませんね。

 いくつかミスかなと思われるところはありますが、全体としてはかなりよく考えられていると思います。



(9113)  (Re:9079)
Re2:電力輸送の問題
Du’
2005年02月11日(金) 18時57分

 #9079 典Bさん、こんにちは。

>| 図2の抵抗rでの電力消費P2は
>| P2=(1/4900)rI^2

>というところです。Du’さんはここでrに流れる電流を、コイル1に流れる電流とされていますが、正しくはコイル2に流れる電流(I2)ですね。

コイル2に流れる電流で計算していますが。

>| キルヒホッフの法則より
>| E2-E3=I2r  E4=IR

> この E4=IR は、まず E4=I3R ですね。

その通りです、すみません。

>結果的に I3はI1に等しいのですが

そうですね!すごいですね!感動しました。I3を計算して導くと等しくなるのですが、それは当然そうなるべきである理由はあるのですか?


私の書いたことがすべて正しいとなってしまいますと、問題の方が間違っていると言うことになりますね?
実はこれは名古屋工大の2002年の入試問題なのですが、赤本にも、この問題を取り上げた別の問題集にも、始めに私が示した解答が載っているのです。ですからそれが間違っているようにはとても思えないのです。何か別の解釈の仕方はあるのですか?



(9118)  (Re:9113)
Re3:電力輸送の問題
典B
2005年02月12日(土) 00時02分

 #9113 Du’さん、こんにちは(^_^)。

 私なりの答えだけ書きます。

図1
→I0
┏━━━━━抵抗r━━━━━┓
交             抵
流             抗
E             R
┗━━━━━━━━━━━━━┛

 I0 = E/(r+R)
 P1 = RI0 ^2 = RE^2/(r+R)^2

図2
→I1  →I2
┏━━┓┏━抵抗r━┓┏━━┓
交  ココ     ココ  抵
流  イイ     イイ  抗
E  ルル     ルル  R
┃  12     34  ┃
┗━━┛┗━━━━━┛┗━━┛

 I1 = E/(r/4900+R)
 I2 = I1/70 = E/(r/70+70R)
 P2 = rI2 ^2 = RE^2/(r/70+70R)^2
 P2/P1 = (r+R)^2/(r/70+70R)^2



(9122)  (Re:9118)
Re4:電力輸送の問題
Du’
2005年02月12日(土) 00時47分

典Bさん、こんにちは。

解答は、P2をI1を用いて表しているのです。間違っていましたか?



(9125)  (Re:9122)
Re5:電力輸送の問題
典B
2005年02月12日(土) 10時07分

 #9122 Du’さん、こんにちは(^_^)。

| 解答は、P2をI1を用いて表しているのです。間違っていましたか?

 私は間違っていると思います。



(9127)  (Re:9122)
Re5:電力輸送の問題
yhiro
2005年02月12日(土) 10時33分

Du’さん、典Bさん こんにちは

これはタイトルにあるとおり電力輸送の問題ですね?だったら問題にはもう一つ条件 R>>r というのがあるはずで、計算の途中でこの条件を入れて近似的に1/4900ということになるはずです。

Yamamoto Hirotoshi



(9128)  (Re:9127)
Re6:電力輸送の問題
典B
2005年02月12日(土) 11時03分

 #9127 yhiroさん、こんにちは(^_^)。

 私が間違えていました(汗)。ご指摘ありがとうございました。

 #9074でDu’さんが、

| 図2の抵抗rでの電力消費P2は
| P2=(1/4900)rI^2
| 図1の抵抗rでの電力消費P1は
| P1=rI^2

と書かれていたのを、私は、

| 図2の抵抗rでの電力消費P2は
| P2=rI^2

と書かれていると読み誤っておりました(^^;)。

| これはタイトルにあるとおり電力輸送の問題ですね?だったら問
| 題にはもう一つ条件 R>>r というのがあるはずで、計算の途中
| でこの条件を入れて近似的に1/4900ということになるはずです。

 おっしゃるとおりです。



(9159)  (Re:9128)
Re7:電力輸送の問題
Du’
2005年02月14日(月) 21時22分

 #9128 典Bさん こんにちは。

>読み誤っておりました(^^;)。

すると、問題は解決したのでしょうか。それとも

>近似的に1/4900ということになるはずです。

> おっしゃるとおりです。

ということは、近似をしないとどこかで間違いがあるのでしょうか?



(9167)  (Re:9159)
Re8:電力輸送の問題
典B
2005年02月15日(火) 09時57分

 9159 Du’さん、こんにちは(^_^)。

| >読み誤っておりました(^^;)。

| すると、問題は解決したのでしょうか。

 解決したかどうかは、私が判断することではありません。
 最初に#9027で質問されたDu’さんが納得されたかどうかでしょう。

| それとも

| >近似的に1/4900ということになるはずです。
| >
| > おっしゃるとおりです。

| ということは、近似をしないとどこかで間違いがあるのでしょうか?

 「近似をしないとどこかで間違いがある」というのがどういう意味ですか???
 「近似をすれば正しい答えが得られて、近似をしなければ間違った答えになってしまう」という意味にとれますが、そんなおかしな話はないでしょう。
 近似をせずに答えを求めれば、#9118で書いたように、P2/P1 = (r+R)^2/(r/70+70R)^2 となる、と私は思っています。それに対して、#9127でのyhiroさんのご指摘は、「これは電力輸送の問題なので、 R>>r という条件があるはずで、それなら私が書いた式は近似的に1/4900になる」というのが、#9127でのyhiroさんのご指摘です。

 #9074でDu’さんは、

| 上記6式より
| I=E/(R+r/4900)

| となり、一致しません。

とおっしゃっています。ここでDu’さんの出された式 I=E/(R+r/4900) はコイル1を流れる電流の値としては正しいのです。抵抗rを流れる電流I2はコイル2に流れる電流ですから、

 I2=I/70=E/(70R+r/70)

です。この式は#9118で私が出した式と同じです。
 またこの式で R>>r であれば、

 I2≒E/(70R)

ですから、この近似を用いて電力比を計算すれば 1/4900 という答えが得られます。
 Du’さんが上の引用部分で「一致しません」とおっしゃっていますが、「一致しません」だけでなく、「何と何が一致しないのか」をはっきり書いていただきたいと思います。





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