電力輸送の問題

(9074) 電力輸送の問題
Du’
2005年02月09日(水) 23時46分

こんばんは。高３のDu’です。
物理の問題を解いていて、疑問に思ったことがあるので、質問させてください。
以下にそれらを示します。

図１
→Ｉ
┏━━━━━抵抗ｒ━━━━━┓
交　　　　　　　　　　　　　抵
流　　　　　　　　　　　　　抗
Ｅ　　　　　　　　　　　　　Ｒ
┗━━━━━━━━━━━━━┛
Ｅは交流電源の実効値、Ｉは流れる電流の実効値とします。
図２
→Ｉ
┏━━┓┏━抵抗ｒ━┓┏━━┓
交　　ココ　　　　　ココ　　抵
流　　イイ　　　　　イイ　　抗
Ｅ　　ルル　　　　　ルル　　Ｒ
┃　　１２　　　　　３４　　┃
┗━━┛┗━━━━━┛┗━━┛
コイル１ー２、３ー４は変圧器になっています。それぞれ同一の鉄芯に巻かれています。コイル１、４はN1回巻、コイル２、３はN2回巻です。今、N1:N2=1:70とします。Ｅは交流電源の実効値、Ｉは左端の回路を流れる電流の実効値とします。

問題は、
図２の抵抗ｒでの電力消費は、変圧器を用いない図１での電力消費の何倍であるかを求めよ。
というものです

以下解答を示します。

コイル２の電圧をＥ２、コイル２に流れる電流をＩ２とする。
電圧の比は巻数の比になるから
７０E=E2
エネルギー保存則より
IE=I2E2
上記２式より
I2=I/70
図２の抵抗ｒでの電力消費P2は
P2=(1/4900)rI^2
図１の抵抗ｒでの電力消費P1は
P1=rI^2
ゆえに
P2/P1=1/4900

ここまでが解答です。
しかし、図１と図２で流れる電流Iは、解答では始めから与えられていますから同じとして計算していますが、私は同じではないと思いました。
そこで、抵抗と電圧を図１、２で共通にして、それらの値から図１、２に流れる電流の値を求めてみました。

図１の電流です。
E=Ir+iR　　より　　I=E/(r+R)

図２の電流です。
コイル２、３、４の電圧をE2、E3、E4、左、中央、右の回路に流れる電流をI、I2、I3とします。
変圧器において電圧の比は巻数の比になるから
70E=E2　　E3=70E4
エネルギー保存則より
EI=E2I2　　E3I2=E4I3
キルヒホッフの法則より
E2-E3=I2r　　E4=IR
上記６式より
I=E/(R+r/4900)

となり、一致しません。

どなたかこの問題を解釈していただけないでしょうか。
よろしくお願い致します。

(9079) (Re:9074)
Re:電力輸送の問題
典Ｂ
2005年02月10日(木) 07時44分

　#9074 Du’さん、こんにちは(^_^)。

　Du’さんの計算結果 I=E/(R+r/4900) は正しいです。そもそも、図１のIと、図２のIは等しくないのです。ですから、図１の電流と図２の電流には違う文字を使ったほうがいいでしょう。たとえば、図１のIをI0、図２のIをI1とするのです。
　そうすると、I0はDu’さんの計算どおり I0=E/(r+R) です。そして、ｒで消費される電力はこれもDu’さんの計算どおり P1=rI0^2 です。
　図２のI1もこれまたDu’さんの計算どおり I1=E/(R+r/4900) です。ここから先でDu’さんはちょっとしたミスをおかしておられるようです。

| 図２の抵抗ｒでの電力消費P2は
| P2=(1/4900)rI^2

というところです。Du’さんはここでｒに流れる電流を、コイル１に流れる電流とされていますが、正しくはコイル２に流れる電流（I2）ですね。

　ここまでわかれば、あとは多少ややこしい式の計算だけで答えが出るはずです。

　なお、つぎのところもちょっとしたミスかなと思います。

| キルヒホッフの法則より
| E2-E3=I2r　　E4=IR

　この E4=IR は、まず E4=I3R ですね。結果的に I3はI1に等しいのですが、Du’さんの計算の中では I3=I1 というのは導かれていませんね。

　いくつかミスかなと思われるところはありますが、全体としてはかなりよく考えられていると思います。

(9113) (Re:9079)
Re2:電力輸送の問題
Du’
2005年02月11日(金) 18時57分

　#9079 典Ｂさん、こんにちは。

＞| 図２の抵抗ｒでの電力消費P2は
＞| P2=(1/4900)rI^2
＞
＞というところです。Du’さんはここでｒに流れる電流を、コイル１に流れる電流とされていますが、正しくはコイル２に流れる電流（I2）ですね。

コイル２に流れる電流で計算していますが。

＞| キルヒホッフの法則より
＞| E2-E3=I2r　　E4=IR
＞
＞　この E4=IR は、まず E4=I3R ですね。

その通りです、すみません。

＞結果的に I3はI1に等しいのですが

そうですね！すごいですね！感動しました。I3を計算して導くと等しくなるのですが、それは当然そうなるべきである理由はあるのですか？

私の書いたことがすべて正しいとなってしまいますと、問題の方が間違っていると言うことになりますね？
実はこれは名古屋工大の２００２年の入試問題なのですが、赤本にも、この問題を取り上げた別の問題集にも、始めに私が示した解答が載っているのです。ですからそれが間違っているようにはとても思えないのです。何か別の解釈の仕方はあるのですか？

(9118) (Re:9113)
Re3:電力輸送の問題
典Ｂ
2005年02月12日(土) 00時02分

　#9113 Du’さん、こんにちは(^_^)。

　私なりの答えだけ書きます。

図１
→Ｉ0
┏━━━━━抵抗ｒ━━━━━┓
交　　　　　　　　　　　　　抵
流　　　　　　　　　　　　　抗
Ｅ　　　　　　　　　　　　　Ｒ
┗━━━━━━━━━━━━━┛

　Ｉ0 ＝Ｅ/(ｒ＋Ｒ)
　Ｐ1 ＝ＲＩ0 ^2 ＝ＲＥ^2/(ｒ＋Ｒ)^2

図２
→Ｉ1 　→Ｉ2
┏━━┓┏━抵抗ｒ━┓┏━━┓
交　　ココ　　　　　ココ　　抵
流　　イイ　　　　　イイ　　抗
Ｅ　　ルル　　　　　ルル　　Ｒ
┃　　１２　　　　　３４　　┃
┗━━┛┗━━━━━┛┗━━┛

　Ｉ1 ＝Ｅ/(ｒ/４９００＋Ｒ)
　Ｉ2 ＝Ｉ1/７０＝Ｅ/(ｒ/７０＋７０Ｒ)
　Ｐ2 ＝ｒＩ2 ^2 ＝ＲＥ^2/(ｒ/７０＋７０Ｒ)^2
　Ｐ2/Ｐ1 ＝ (ｒ＋Ｒ)^2/(ｒ/７０＋７０Ｒ)^2

(9122) (Re:9118)
Re4:電力輸送の問題
Du’
2005年02月12日(土) 00時47分

典Ｂさん、こんにちは。

解答は、P2をI1を用いて表しているのです。間違っていましたか？

(9125) (Re:9122)
Re5:電力輸送の問題
典Ｂ
2005年02月12日(土) 10時07分

　#9122 Du’さん、こんにちは(^_^)。

| 解答は、P2をI1を用いて表しているのです。間違っていましたか？

　私は間違っていると思います。

(9127) (Re:9122)
Re5:電力輸送の問題
yhiro
2005年02月12日(土) 10時33分

Du’さん、典Ｂさん　こんにちは

これはタイトルにあるとおり電力輸送の問題ですね？だったら問題にはもう一つ条件　R>>r　というのがあるはずで、計算の途中でこの条件を入れて近似的に1/4900ということになるはずです。

Yamamoto Hirotoshi

(9128) (Re:9127)
Re6:電力輸送の問題
典Ｂ
2005年02月12日(土) 11時03分

(9159) (Re:9128)
Re7:電力輸送の問題
Du’
2005年02月14日(月) 21時22分

　#9128 典Ｂさん　こんにちは。

＞読み誤っておりました(^^;)。

すると、問題は解決したのでしょうか。それとも

＞近似的に1/4900ということになるはずです。
＞
＞　おっしゃるとおりです。

ということは、近似をしないとどこかで間違いがあるのでしょうか？

(9167) (Re:9159)
Re8:電力輸送の問題
典Ｂ
2005年02月15日(火) 09時57分

　9159 Du’さん、こんにちは(^_^)。

| ＞読み誤っておりました(^^;)。
|
| すると、問題は解決したのでしょうか。

　解決したかどうかは、私が判断することではありません。
　最初に#9027で質問されたDu’さんが納得されたかどうかでしょう。

| それとも
|
| ＞近似的に1/4900ということになるはずです。
| ＞
| ＞　おっしゃるとおりです。
|
| ということは、近似をしないとどこかで間違いがあるのでしょうか？

　「近似をしないとどこかで間違いがある」というのがどういう意味ですか？？？
　「近似をすれば正しい答えが得られて、近似をしなければ間違った答えになってしまう」という意味にとれますが、そんなおかしな話はないでしょう。
　近似をせずに答えを求めれば、#9118で書いたように、Ｐ2/Ｐ1 ＝ (ｒ＋Ｒ)^2/(ｒ/７０＋７０Ｒ)^2 となる、と私は思っています。それに対して、#9127でのyhiroさんのご指摘は、「これは電力輸送の問題なので、 R>>r という条件があるはずで、それなら私が書いた式は近似的に１／４９００になる」というのが、#9127でのyhiroさんのご指摘です。

　#9074でDu’さんは、

| 上記６式より
| I=E/(R+r/4900)
|
| となり、一致しません。

とおっしゃっています。ここでDu’さんの出された式 I=E/(R+r/4900) はコイル１を流れる電流の値としては正しいのです。抵抗ｒを流れる電流I2はコイル２に流れる電流ですから、

　I2=I/70=E/(70R+r/70)

です。この式は#9118で私が出した式と同じです。
　またこの式で R>>r であれば、

　I2≒E/(70R)

ですから、この近似を用いて電力比を計算すれば 1/4900 という答えが得られます。
　Du’さんが上の引用部分で「一致しません」とおっしゃっていますが、「一致しません」だけでなく、「何と何が一致しないのか」をはっきり書いていただきたいと思います。